Question

定義在R上的函數及二次函數滿足：且。
（1）求和的解析式；
（2）；
（3）設，討論方程的解的個數情況．

Answer 1

（1），（2），（3）當時,方程有個解;
當時,方程有個解;當時,方程有個解;當時,方程有個解.

試題分析：（1）求函數解析式有不同的方法.滿足可利用方程組求解，由解得: ，而為二次函數，其解析式應用待定系數法求解可設，再根據三個條件且，列三個方程組解得，（2）不等式恒成立問題常轉化為最值問題，本題轉化為左邊最小值不小于右邊最大值，右邊函數無參數，先根據導數求出其最大值，這樣就轉化為二次函數恒不小于零的問題，利用實根分布可得到充要條件所以（3）研究解的個數問題，需先研究函數圖像，解方程，實際有兩層，由解得；再由得兩個解，由得三個解，結合這些解的大小，可得到原方程解得情況.
試題解析：(1) ,①
即②
由①②聯立解得: .               2分
是二次函數, 且,可設,
由,解得.
.            4分
(2)設,
,
依題意知:當時,
,在上單調遞減,
                6分
在上單調遞增,
解得:
實數的取值范圍為.      9分
(3)設,由(2)知,
的圖象如圖所示:

設,則
當,即時, ,有兩個解, 有個解;
當,即時, 且,
有個解;                      2分
當,即時, ,有個解;
當,即時, ,有個解.  13分
綜上所述:
當時,方程有個解;
當時,方程有個解;
當時,方程有個解;
當時,方程有個解.              14分