Question

已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求函數(shù)的值域．

Answer 1

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824060406507398.png" style="vertical-align:middle;" />；（2）函數(shù)是奇函數(shù)；（3）函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824060406554314.png" style="vertical-align:middle;" />．

試題分析：（1）具有解析式的函數(shù)的定義域無(wú)特殊情況下，通常就是使解析式有意義的自變量的取值范圍；通常關(guān)注的是：①開(kāi)偶次方時(shí)被開(kāi)方的式子為非負(fù)；②作為分母不得為零；③作為對(duì)數(shù)的真數(shù)必須為正；④作為對(duì)數(shù)的底數(shù)必須為正且不為；（2）奇、偶性的判斷，首先必須關(guān)注定義域，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具備奇、偶性的必要條件，接下來(lái)用定義或等價(jià)定義來(lái)判斷；（3）求函數(shù)值域的方法很多，在大題中經(jīng)常通過(guò)探討函數(shù)單調(diào)性來(lái)達(dá)到求函數(shù)值域的目的，這里即是．
試題解析：（1）由得，則函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824060406507398.png" style="vertical-align:middle;" />．       4分
（2）當(dāng)時(shí)，，
因此，函數(shù)是奇函數(shù)．                                              9分
（3）設(shè)，當(dāng)時(shí)，
則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，
故函數(shù)在區(qū)間上也是減函數(shù)．                                12分
（證明單調(diào)性也可用定義）
則，                            13分
因此，函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824060406554314.png" style="vertical-align:middle;" />．                                         14分