Question

【題目】設函數.

（Ⅰ）求證：當時，；

（Ⅱ）存在，使得成立，求a的取值范圍；

（Ⅲ）若對恒成立，求b的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.

【解析】

（Ⅰ）轉化求函數g（x）在（0，π]上的最大值，利用函數的導數判斷單調性進而求解；

（Ⅱ）依題意即轉化為求函數f（x）在（0，π]上的最小值，利用函數的導數判斷單調性進而求解；

（Ⅲ）先表示出函數g（bx），將恒成立問題轉化為函數求最值問題，利用函數的導數判斷單調性進而求解，注意b的范圍的討論．

（Ⅰ）因為當時，，

所以在上單調遞減，

又，所以當時，.

（Ⅱ）因為，

所以，

由（Ⅰ）知，當時，，所以，

所以在上單調遞減，則當時，

由題意知，在上有解，所以，從而.

（Ⅲ）由，得對恒成立，

①當，0，1時，不等式顯然成立.

②當時，因為，所以取，

則有，此時不等式不恒成立.

③當時，由（Ⅱ）可知在上單調遞減，而，

，

成立.

④當時，當時，，

則，不成立，

綜上所述，當或時，有對恒成立.