Question

【題目】如圖,四棱錐,側面是邊長為2的正三角形,且與底面垂直,底面是的菱形, 為棱上的動點,且.

(I)求證： 為直角三角形；

(II)試確定的值，使得二面角的平面角余弦值為.

Answer 1

【答案】（1）見解析；(II) .

【解析】試題分析：（1）取中點,連結,以為原點， 為軸， 為軸， 為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明為直角三角形；（2）設，由，得，求出平面的法向量和平面的法向量，，根據空間向量夾角余弦公式能求出結果.

試題解析：(I)取中點,連結，依題意可知均為正三角形，所以,

又平面平面，

所以平面，

又平面，所以,

因為,所以，即,

從而為直角三角形.

說明:利用 平面證明正確,同樣滿分!

(II)[向量法]由(I)可知,又平面平面,平面平面,

平面，所以平面.

以為原點，建立空間直角坐標系如圖所示,則

,

由可得點的坐標

所以,

設平面的法向量為，則,

即解得，

令，得，

顯然平面的一個法向量為,

依題意，

解得或（舍去），

所以，當時，二面角的余弦值為.

[傳統法]由(I)可知平面,所以,

所以為二面角的平面角，

即,

在中， ,

所以

，

由正弦定理可得，即

解得，

又,所以,

所以，當時，二面角的余弦值為.