Question

（1）證明：|a+b|+|a-b|≥2|a|，并說明等號成立的條件；
（2）若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|x-2|+|x-3|）對任意的實數a（a≠0）和b恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）利用絕對值不等式的幾何意義即可證得：|a+b|+|a-b|≥2|a|，并能求得等號成立的條件；
（2）由（1）得

|a+b|+|a-b|

|a|

≥2，于是|x-2|+|x-3|≤2恒成立，通過對自變量x范圍的分類討論，去掉式中的絕對值符號，再解相應的不等式，最后取并即可．

解答： （1）證明：|a+b|+|a-b|≥|（a+b）+（a-b）|=2|a|，…3分
當且僅當（a-b）（a+b）≥0時等號成立，即|a|≥|b|…5分
（2）解：由（1）得

|a+b|+|a-b|

|a|

≥2，即

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值為2，
于是|x-2|+|x-3|≤2…6分
當x＜2時，原不等式化為-（x-2）-（x-3）≤2，解得x≥

3

2

，
所以x的取值范圍是

3

2

≤x＜2；…7分
當2≤x≤3時，原不等式化為（x-2）-（x-3）≤2，即-5≤2恒成立，
所以x的取值范圍是2≤x≤3；…8分
當x＞3時，原不等式化為（x-2）+（x-3）≤2，解得x≤

7

2

，
所以x的取值范圍是3＜x≤

7

2

；…9分
綜上所述，x的取值范圍是

3

2

≤x≤

7

2

…10分

點評：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查等價轉化思想與分類討論思想的綜合應用，考查運算求解能力，屬于中檔題．