Question

在數列｛a_n｝中，a₁=2，a₄=8，且滿足a_n+2=2a_n+1－a_n（n∈N*）
（1）求數列｛a_n｝的通項公式
（2）設b_n=2^n-1·a_n，求數列｛b_n｝的前n項和s_n

Answer 1

（1）a_n=2+2（n—1）=2n
（2）b_n=2^n-1·2n=n·2ⁿ
s_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2

解：（1）∵a_n+2=2a_n+1－a_n（n∈N*）
∴a_n+a_n+2=2a_n+1
∴｛a_n｝為等差數列
設公差為d，由題意得8=2+3d，∴d="2  " ∴a_n=2+2（n—1）=2n
（2）∵b_n=2^n-1·2n=n·2ⁿ
∴s_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1·2¹+2·2²+3·2³+…+n·2ⁿ         ①
∴2s_n=1·2²+2·2³+…（n—1）·2ⁿ+n·2ⁿ⁺¹                                ②
①—②得-s_n=2¹+2²+2³+…+2ⁿ—n·2ⁿ⁺¹=-n·2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2- n·2ⁿ⁺¹=（1-n）2ⁿ⁺¹-2
∴s_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2