Question

（本題滿分12分）

已知函數（）．

   （1）當時，求函數在上的最大值和最小值；

   （2）當函數在單調時，求的取值范圍；

   （3）求函數既有極大值又有極小值的充要條件。

Answer 1

2, 2-ln2 , ,

解析:

（1）時，，

函數在區間僅有極大值點，故這個極大值點也是最大值點，

故函數在最大值是，

又，故，

故函數在上的最小值為。（4分）

  （2），令，則，

則函數在遞減，在遞增，由，，

，故函數在的值域為。

若在恒成立，即在恒成立，

只要，若要在在恒成立，即在恒成立，

只要。即的取值范圍是。（8分）

   （3）若既有極大值又有極小值，則首先必須有兩個不同正根，

即 有兩個不同正根。

故應滿足，∴當時，

有兩個不等的正根，不妨設，

由知：時，時，時，

∴當時既有極大值又有極小值．

反之，當時，有兩個不相等的正根，故函數既有極大值又有極小值的充要條件。   （12分）