Question

已知無窮數列的前項和為，且滿足，其中、、是常數.
（1）若，，，求數列的通項公式；
（2）若，，，且，求數列的前項和；
（3）試探究、、滿足什么條件時，數列是公比不為的等比數列.

Answer 1

（1）；（2）；（3），或或，．

試題分析：（1）已知與的關系，要求，一般是利用它們之間的關系，把，化為，得出數列的遞推關系，從而求得通項公式；（2）與（1）類似，先求出，時，推導出與之間的關系，求出通項公式，再求出前項和；（3）這是一類探究性命題，可假設結論成立，然后由這個假設的結論來推導出條件，本題設數列是公比不為的等比數列，則，，代入恒成立的等式，得
對于一切正整數都成立，所以，，，得出這個結論之后，還要反過來，由這個條件證明數列是公比不為的等比數列，才能說明這個結論是正確的．在討論過程中，還要討論的情況，因為時，，，當然這種情況下，不是等比數列，另外．
試題解析：（1）由，得；               1分
當時，，即        2分
所以；                     1分
（2）由，得，進而，    1分
當時，
得，
因為，所以，           2分
進而                   2分
（3）若數列是公比為的等比數列，
①當時，，
由，得恒成立.
所以，與數列是等比數列矛盾；              1分
②當，時，，，        1分
由恒成立，
得對于一切正整數都成立
所以，或或，            3分
事實上，當，或或，時，
，時，，得或
所以數列是以為首項，以為公比的等比數列          2分與的關系：，等差數列與等比數列的定義．