Question

國慶長假期間小明去參觀畫展，為了保護壁畫，舉辦方在壁畫前方用垂直于地面的透明玻璃幕墻與觀眾隔開，小明在一幅壁畫正前方駐足觀看．如圖是小明觀看該壁畫的縱截面示意圖，已知壁畫高度AB是2米，壁畫底端與地面的距離BO是1米，玻璃幕墻與壁畫之間的距離OC是1米．若小明的身高為a米（0＜a＜3），他在壁畫正前方x米處觀看，問x為多少時，小明觀看這幅壁畫上下兩端所成的視角θ最大？

Answer 1

分析：通過0＜a＜1，1＜a＜3且a≠2，分別求出tanθ，構造函數通過函數的單調性求出函數的最大值，說明視角最大．

解答：（本小題滿分16分）
解：因為y=tanx在x∈（0，

π

2

）是增函數，
（1）當0＜a＜1時，如圖1，tanθ=tan（α-β）=

3-a x - 1-a x

1+ (1-a)(3-a) x2

=

2

x+ (1-a)(3-a) x

，
令函數f（x）=x+

(1-a)(3-a)

x

，可證明函數f（x）在（0，

(1-a)(3-a)

）是單調減函數，
在(

(1-a)(3a)

，+∞)是單調增函數．
若

(1-a)(3-a)

≤1時，即2-

2

≤a＜1時，
f（x）在[1，+∞）上是增函數，此時當x=1時tanθ取得最大值，則視角θ最大．
若

(1-a)(3-a)

＞1時，即0＜a＜2-

2

，
①當x=

(1-a)(3-a)

時，tanθ取得最大值，則視角θ最大．
②當a=1時，tanθ=

2

x

（x≥1），當x=1時tanθ取得最大值，則視角θ最大．
（2）當1＜a＜3且a≠2時如圖2，
tanθ═tan（α+β）=

3-a x + a-1 x

1- (a-1)(3-a) x2

=

2

x- (a-1)(3-a) x

，
令g（x）=x-

(a-1)(3-a)

x

，
在[1，+∞）上是增函數，所以當x=1時，y_max＞0，tanθ＞0，故θ為銳角．
∴當x=1時，g（x）取得最小值，tanθ取得最大值，則視角θ最大．
綜上：當2-

2

≤a＜3時，且x=1時，視角θ最大；
當0＜a＜2-

2

，時，且x=

(1-a)(3-a)

時，視角θ最大．

點評：本題考查解三角形的實際應用，考查函數的單調性的應用，分類討論思想，計算能力．