Question

（2013•沈陽二模）已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且

a

b

=

1+cosA

cosC

．
（1）求角A；
（2）若a=1，求△ABC的面積S的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據余弦定理關于cosA、cosC的式子代入已知等式，化簡整理可得（b+c）（b²+c²-a²）=0，從而得到b²+c²=a²，可得△ABC是以A為直角的直角三角形，所以A=

π

2

；
（2）根據（1）的結論，得到b²+c²=a²=1，利用基本不等式得到bc≤

1

2

b²+c²=

1

2

，結合△ABC的面積S=

1

2

bc可得當且僅當b=c=

2

2

時，△ABC的面積的最大值為

1

4

．

解答：解：（1）由余弦定理，可得cosA=

b2+c2-a2

2bc

，cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
代入已知等式，得

a

b

=

1+ b2+c2-a2 2bc

a2+b2-c2 2ab

，…（2分）
即

a2+b2-c2

2b

=b+

b2+c2-a2

2c

，去分母化簡得c（a²+b²-c²）=2b²c+b（b²+c²-a²），
整理，得（b+c）（b²+c²-a²）=0，
∵b+c＞0，∴b²+c²-a²=0，…（6分）
因此，b²+c²=a²可得△ABC是以A為直角的直角三角形，得A=

π

2

．…（8分）
（2）由（1）知b²+c²=a²=1，
又∵b²+c²≥2bc，∴bc≤

1

2

b²+c²，可得bc≤

1

2

（當且僅當b=c時取“=”），…（10分）
∵△ABC的面積S=

1

2

bc，∴S≤

1

2

×

1

2

=

1

4

，
即當且僅當b=c=

2

2

時，△ABC的面積的最大值為

1

4

．…（12分）

點評：本題給出△ABC的邊角關系式，求角A的大小并求△ABC的面積的最大值．著重考查了利用正余弦定理解三角形、基本不等式求最值和勾股定理等知識，屬于中檔題．