Question

【題目】已知函數f(x)＝.

(1)判斷函數f(x)的奇偶性；

(2)判斷并用定義證明函數f(x)在其定義域上的單調性．

(3)若對任意的t1，不等式f()＋f()<0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）見解析； （3）.

【解析】

（1）根據奇偶性的判定方法求解即可；（2）根據“取值、作差、變形、定號、結論”的步驟證明即可；（3）根據函數的單調性和奇偶性，將不等式轉化為對任意t1恒成立求解，通過換元法并結合分離參數求出函數的最值后可得所求的范圍．

(1)∵2x＋1≠0，

∴函數的定義域為R，關于原點對稱．

∵，

∴函數為奇函數．

（3）函數在定義域上為增函數．證明如下：

設，且，

則，

∵y＝2x在上是增函數，且，

∴，

∴，

∴，

∴函數在定義域內是增函數．

（3）∵，

∴．

∵函數是奇函數，

∴．

又函數在定義域內是增函數，

∴對任意1恒成立，

∴對任意t1恒成立．

令,，則，

∵函數在上是增函數，

∴，

∴，

∴實數的取值范圍為．