Question

【題目】已知橢圓E： =1（a＞b＞0）過點 ，且離心率e為 ．

（1）求橢圓E的方程；
（2）設直線x=my﹣1（m∈R）交橢圓E于A，B兩點，判斷點G 與以線段AB為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得 ，解得 ，

∴橢圓E的方程為

（2）解：設點A（x1y1），B（x2，y2），AB中點為H（x0，y0）．

由 ，化為（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，

∴y1+y2= ，y1y2= ，∴y0= ．

G ，

∴|GH|2= = + = + + ．

= = = ，

故|GH|2﹣ = + = ﹣ + = ＞0．

∴ ，故G在以AB為直徑的圓外

解法二：設點A（x1y1），B（x2，y2），則 = ， = ．

由 ，化為（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，

∴y1+y2= ，y1y2= ，

從而 =

= +y1y2

= +

= ﹣ + = ＞0．

∴ ＞0，又 ， 不共線，

∴∠AGB為銳角．

故點G 在以AB為直徑的圓外

【解析】解法一：（1）由已知得 ，解得即可得出橢圓E的方程．（2）設點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），AB中點為H（x0 ， y0）．直線方程與橢圓方程聯立化為（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，利用根與系數的關系中點坐標公式可得：y0= ．|GH|2= ． = ，作差|GH|2﹣ 即可判斷出．
解法二：（1）同解法一．（2）設點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則 = ， = ．直線方程與橢圓方程聯立化為（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，計算 = 即可得出∠AGB，進而判斷出位置關系．