Question

【題目】正方體中， 分別是的中點．

（1）證明：平面平面；

（2）在上求一點，使得平面．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）以D為原點，DA,DC，D分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，

只需證明兩平面的法向量數量積為0.(2)設，解得M(2,2λ，λ)，由平面，需，可求解。

試題解析： 證明：(Ⅰ)建立如圖所示的空間直角坐標系D－xyz，

不妨設正方體的棱長為2，則A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)， D1(0,0,2)．

設平面AED的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，則

∴

令y1＝1，得n1＝(0,1，－2)．

同理可得平面A1FD1的法向量n2＝(0,2,1)．

∵n1·n2＝0，

∴平面AED⊥平面A1FD1．

(Ⅱ)由于點M在AE上，

∴可設＝λ＝λ(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，

可得M(2,2λ，λ)，

于是＝(0,2λ，λ－2)．

要使A1M⊥平面DAE，需A1M⊥AE，

∴·＝(0,2λ，λ－2)·(0,2,1)＝5λ－2＝0，得λ＝．

故當AM＝AE時，即點M坐標為(2，，)時，A1M⊥平面DAE．