Question

如圖，O為坐標原點，雙曲線C₁：

x2

a 2 1

-

y2

b 2 1

=1（a₁＞0，b₁＞0）和橢圓C₂：

y2

a 2 2

+

x2

b 2 2

=1（a₂＞b₂＞0）均過點P（

2 3

3

，1），且以C₁的兩個頂點和C₂的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形．
（Ⅰ）求C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得l與C₁交于A、B兩點，與C₂只有一個公共點，且|

OA

+

OB

|=|

AB

|？證明你的結論．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由條件可得a₁=1，c₂=1，根據點P（

2 3

3

，1）在上求得b12=3，可得雙曲線C₁的方程．再由橢圓的定義求得a₂=

3

，可得b22=a22-c22的值，從而求得橢圓C₂的方程．
（Ⅱ）若直線l垂直于x軸，檢驗部不滿足|

OA

+

OB

|≠|

AB

|．若直線l不垂直于x軸，設直線l得方程為 y=kx+m，由

y=kx+m x2- y2 3 =1

可得y₁•y₂=

3k2-3m

k2-3

．由

y=kx+m y2 3 + x2 2 =1

可得 （2k²+3）x²+4kmx+2m²-6=0，根據直線l和C₁僅有一個交點，根據判別式△=0，求得2k²=m²-3，可得

OA

•

OB

≠0，可得|

OA

+

OB

|≠|

AB

|．綜合（1）、（2）可得結論．

解答： 解：（Ⅰ）設橢圓C₂的焦距為2c₂，由題意可得2a₁=2，∴a₁=1，c₂=1．
由于點P（

2 3

3

，1）在上，∴(

2 3

3

)2-

1

b12

=1，b12=3，
∴雙曲線C₁的方程為：x²-

y2

3

=1．
再由橢圓的定義可得 2a₂=

( 2 3 3 -0)2+(1-1)2

+

( 2 3 3 -0)2+(1+1)2

=2

3

，∴a₂=

3

，
∴b22=a22-c22=2，∴橢圓C₂的方程為：

y2

3

+

x2

2

=1．
（Ⅱ）不存在滿足條件的直線l．
（1）若直線l垂直于x軸，則由題意可得直線l得方程為x=

2

，或 x=-

2

．
當x=

2

時，可得 A（

2

，

3

）、B（

2

，-

3

），求得|

OA

+

OB

|=2

2

，|

AB

|=2

3

，
顯然，|

OA

+

OB

|≠|

AB

|．
同理，當x=-

2

時，也有|

OA

+

OB

|≠|

AB

|．
（2）若直線l不垂直于x軸，設直線l得方程為 y=kx+m，由

y=kx+m x2- y2 3 =1

 可得
（3-k²）x²-2mkx-m²-3=0，∴x₁+x₂=

2km

3-k2

，x₁•x₂=

m2+3

k2-3

．
于是，y₁•y₂=k²x₁•x₂+km（x₁+x₂）+m²=

3k2-3m

k2-3

．
由

y=kx+m y2 3 + x2 2 =1

可得 （2k²+3）x²+4kmx+2m²-6=0，根據直線l和C₁僅有一個交點，
∴判別式△=16k²m²-8（2k²+3）（m²-3）=0，∴2k²=m²-3．
∴

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=

-k2-3

k2-3

≠0，∴(

OA

+

OB

)2≠(

OA

-

OB

)2，
∴|

OA

+

OB

|≠|

AB

|．
綜合（1）、（2）可得，不存在滿足條件的直線l．

點評：本題主要考查橢圓的定義、性質、標準方程，直線和圓錐曲線的位置關系的應用，韋達定理，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．