Question

某地發生特大地震和海嘯，使當地的自來水受到了污染，某部門對水質檢測后，決定往水中投放一種藥劑來凈化水質．已知每投放質量為m的藥劑后，經過x天該藥劑在水中釋放的濃度y（毫克/升）滿足y=mf(x)，其中f(x)=

x 4 +2(0＜x≤4) 6 x-2 (x＞4)

，當藥劑在水中釋放的濃度不低于4（毫克/升）時稱為有效凈化；當藥劑在水口釋放的濃度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）時稱為最佳凈化．
（1）如果投放的藥劑質量為m=4，試問自來水達到有效凈化一共可持續幾天？
（2）如果投放的藥劑質量為m，為了使在7天（從投放藥劑算起包括7天）之內的自來水達到最佳凈化，試確定該投放的藥劑質量m的值．

Answer 1

分析：（1）由m=4，且y=m•f（x），可得藥劑在水中釋放濃度y的函數；因為函數y是分段函數，在求釋放濃度不低于4（即y≥4）時，要分區間去求解．
（2）由函數y是分段函數，故分區間討論函數的單調性，從而求得y的取值范圍，即藥劑在水中釋放濃度的大小；為使最佳凈化，即4≤y≤10恒成立，只要使y的取值范圍在區間[4，10]內即可，從而解出m的值．

解答：解：（1）因為m=4，所以y=m•f（x）=

x+8  (0＜x≤4) 24 x-2 ( x＞4)

；
所以，當0＜x≤4時，x+8≥4顯然成立，當x＞4時，

24

x-2

≥4，得4＜x≤8；綜上知，0＜x≤8；
所以，自來水達到有效凈化一共可持續8天．
（2）由y=m•f（x）=

mx 4 +2m  (0＜x≤4) 6m x-2          (x＞4)

知，在區間（0，4]上單調遞增，即2m＜y≤3m，在區間（4，7]上單調遞減，即

6m

5

≤y＜3m，綜上知，

6m

5

≤y≤3m；為使4≤y≤10恒成立，只要

6m

5

≥4，且3m≤10即可，即m=

10

3

；
所以，為了使在7天之內的自來水達到最佳凈化，該投放的藥劑量應為

10

3

．

點評：本題考查了分段函數模型的靈活應用；分段函數求最值時，要在每一個區間上求出最值，再通過比較，得出函數的最值．