Question

已知拋物線W：y=ax²經過點A（2，1），過A作傾斜角互補的兩條不同的直線L₁，L₂．
（1）求拋物線W的方程及其準線方程；
（2）當直線L₁與拋物線W相切時，求直線L₂與拋物線W所圍成封閉區域的面積；
（3）設直線L₁、L₂分別交拋物線W于B、C兩點（均不與A重合），若以BC為直徑的圓與拋物線的準線相切，求直線BC的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于拋物線經過點（2，1），則點的坐標滿足拋物線的解析式，即可求出a；
（2）由于直線L₁與拋物線相切，則可求L₁的斜率，亦可得L₂的斜率進而求出L₂的直線，由題意可知聯立直線L₂與拋物線的方程，再利用定積分可求出圍成封閉區域的面積；
（3）由于直線L₁、L₂分別交拋物線W于B、C兩點（均不與A重合），則兩直線的斜率都存在．故可設其中一條直線的斜率k，求出與拋物線的交點B，進而表示出另一條的斜率和交點C，又由圓以BC為直徑，所以可用k表示出圓心和半徑，由于以BC為直徑的圓與拋物線的準線相切，所以圓心到準線的距離等于半徑，得到關于k的等式，解出k，即可求出直線BC．
解答：解：（1）∵A（2，1）在y=ax²上∴1=4a，即a=
∴所求W方程為y=x²，其準線方程為y=-1  …（2分）
（2）當直線L₁與拋物線W相切時，
由y′|_x=2=1可得L₁的斜率為1
∴L₂的斜率為-1，又L₂過A（2，1）
∴L₂方程為：y=-x+3，代入y=x²
得：x²+4x-12=0⇒x₁=2，x₂=-6    …（4分）
∴S=…（6分）
（3）不妨設AB方程為y-1=k（x-2）（k＞0）…（7分）

解得x=2或x=4k-2，∴B（4k-2，4k²-4k+1）…（8分）
又AC斜率為-k，同理可得C（-4k-2，4k²+4k+1）
∴|BC|=8k      …（10分）
線段BC中點為H（-2，4k²+1），
∵以BC為直徑的圓與準線y=-1相切，
∴（4k²+1）-（-1）=4k∴k=…（11分）
此時B（2-2，3-2），C（-2-2，3+2）
∴直線BC方程為：y-（3-2）=-[x-（2-2）]
即x+y-1=0                                     …（13分）
點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，同時考查導數的幾何意義．直線與圓錐曲線的位置關系是高考必考的內容，要切實掌握好．