Question

已知拋物線W：y=ax²經過點A（2，1），過A作傾斜角互補的兩條不同直線l₁，l₂．
（Ⅰ）求拋物線W的方程及準線方程；
（Ⅱ）當直線l₁與拋物線W相切時，求直線l₂的方程
（Ⅲ）設直線l₁，l₂分別交拋物線W于B，C兩點（均不與A重合），若以線段BC為直徑的圓與拋物線的準線相切，求直線BC的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把點A的坐標代入拋物線方程求得p，則拋物線方程可得．進而根據拋物線的性質求得準線方程．
（Ⅱ）當直線l₁與拋物線相切時，對拋物線方程求導，把x=2代入即可求得直線l₁的斜率，進而可知其傾斜角，推斷出直線l2的傾斜角，則直線l₂的斜率求得，進而根據點斜式求得直線方程．
（Ⅲ）設出直線AB的方程，與拋物線方程聯立消去y，可求得方程的兩個根，進而可推斷出B，C點的坐標，根據兩點間的距離公式求得BC的表達式，根據以BC為直徑的圓與準線y=-1相切，可知4k2+1-(-1)=4

2

k求得k，則B，C點的坐標可求，進而求得BC的斜率，最后根據點斜式求得直線方程．

解答：解：（Ⅰ）由于A（2，1）在拋物線y=ax²上，所以1=4a，即a=

1

4

．
故所求拋物線的方程為y=

1

4

x2，其準線方程為y=-1．

（Ⅱ）當直線l₁與拋物線相切時，由y'|_x=2=1，可知直線l₁的斜率為1，其傾斜角為45°，
所以直線l₂的傾斜角為135°，故直線l₂的斜率為-1，所以l₂的方程為y=-x+3

（Ⅲ）不妨設直線AB的方程為y-1=k（x-2）（k＞0），
由

y-1=k(x-2) y= 1 4 x2

得x²-4kx+8k-4=0，
易知該方程有一個根為2，所以另一個根為4k-2，
所以點B的坐標為（4k-2，4k²-4k+1），
同理可得C點坐標為（-4k-2，4k²+4k+1）．
所以|BC|=

[(4k-2)-(-4k-2)]2+[(4k2-4k+1)-(4k2+4k+1)]2

=

(8k)2+(-8k)2

=8

2

k，．
線段BC的中點為（-2，4k²+1），因為以BC為直徑的圓與準線y=-1相切，
所以4k2+1-(-1)=4

2

k，由于k＞0，解得k=

2

2

．
此時，點B的坐標為(2

2

-2，3-2

2

)，點C的坐標為(-2

2

-2，3+2

2

)，
直線BC的斜率為

(3+2 2 )-(3-2 2 )

(-2 2 -2)-(2 2 -2)

=-1，
所以，BC的方程為y-(3-2

2

)=-[x-(2

2

-2)]，即x+y-1=0．

點評：本題主要考查了拋物線的應用．涉及了直線與拋物線的關系，直線的斜率，兩點間的公式的應用，有較強的綜合性．