Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)與直線相切，其中，，是自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）求實數(shù)的值；

（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個極值點(diǎn)．

①求的取值范圍；

②設(shè)函數(shù)的極大值和極小值的差為，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）2（2）①②

【解析】

設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到；

令， 則，

設(shè)，根據(jù)在區(qū)間內(nèi)有兩個不等實根，列出不等式求解即可.

由，得由，解得，且代入，換元設(shè)，，求出的單調(diào)性即可得到M的范圍．

（1）設(shè)直線與函數(shù)相切與點(diǎn)，

函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為：, ,

把，代入上式得，．

所以，實數(shù)的值為2．

（2）①由（1）知,

設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個極值點(diǎn)，，

令，

則，設(shè)

因為，故只需，所以，．

②因為，

所以

．

由，得，且．

．

設(shè)，，令，

，

在上單調(diào)遞減，從而，

所以，實數(shù)的取值范圍是．