Question

【題目】如圖，已知圓O的直徑AB長度為4，點D為線段AB上一點，且 ，點C為圓O上一點，且 ．點P在圓O所在平面上的正投影為點D，PD=BD．

（1）求證：CD⊥平面PAB；
（2）求點D到平面PBC的距離．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB為圓O的直徑，∴AC⊥CB，

∵Rt△ABC中，由 ，∴tan∠ABC= = ，∠ABC=30°，

∵AB=4，3AD=DB，∴DB=3， ，

由余弦定理，得△BCD中，CD2=DB2+BC2﹣2DBBCcos30°=3，

∴CD2+DB2=12=BC2，可得CD⊥AO．

∵點P在圓O所在平面上的正投影為點D，即PD⊥平面ABC，

又∵CD平面ABC，∴PD⊥CD，

∵PD∩AO=D得，∴CD⊥平面PAB

（2）解：由可知，PD=DB=3，且Rt△BCD中， ，

∴ ．

又∵ ， ， ，

∴△PBC為等腰三角形，可得 ．

設點D到平面PBC的距離為d，由VP﹣BDC=VD﹣PBC，得

，解之得

【解析】（1）由AB是圓的直徑，得到AC⊥CB，結合BC= AC算出∠ABC=30°，進而得到 ．△BCD中用余弦定理算出CD長，從而CD2+DB2=BC2 ， 可得CD⊥AO．再根據PD⊥平面ABC，得到PD⊥CD，結合線面垂直的判定定理即可證出CD⊥平面PAB；（2）根據（1）中計算的結果，利用錐體體積公式算出 ，而VP﹣BDC=VD﹣PDC ， 由此設點D到平面PBC的距離為d，可得 ，結合△PBC的面積可算出點D到平面PBC的距離．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的判定，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想即可以解答此題．