Question

【題目】已知橢圓C：1（a＞b＞0）過A（2，0），B（0，1）兩點.

（1）求橢圓C的方程和離心率的大小；

（2）設M，N是y軸上不同的兩點，若兩點的縱坐標互為倒數，直線AM與橢圓C的另一個交點為P，直線AN與橢圓C的另一個交點為Q，判斷直線PQ與x軸的位置關系，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）；離心率（2）直線PQ與x軸平行；證明見解析

【解析】

（1）依題意得a＝2，b＝1，寫出橢圓C的方程，求解離心率的大小即可.

（2）設M，N坐標為（0，m），（0，n），則，m≠0，n≠0，由A（2，0），M（0，m）得直線AM的方程為，聯立，求出P的縱坐標，Q縱坐標，然后推出結果.

解法二：設直線AM的方程為x＝ty+2（t≠0），直線AN的方程為x＝sy+2（s≠0）令x＝0得tyM＝﹣2，M坐標為，同理N坐標為，推出yP＝yQ≠0，直線PQ與x軸平行.

解法三：設直線AM的方程為y＝k1（x﹣2），k1≠0，直線AN的方程為y＝k2（x﹣2），k2≠0，令x＝0得M坐標為（0，﹣2k1），同理N坐標為（0，﹣2k2），得到4k1k2＝1，代入橢圓方程求出P的縱坐標，Q的縱坐標，即可得到結果.

（1）依題意得a＝2，b＝1，所以橢圓C的方程為，，

離心率的大小.

（2）解法一、因為M，N是y軸上不同的兩點，兩點的縱坐標互為倒數，

設M，N坐標為（0，m），（0，n），則，m≠0，n≠0

由A（2，0），M（0，m）得直線AM的方程為，，

整理得（m2+1）y2﹣2my＝0或（m2+1）x2﹣4m2x+4m2﹣4＝0，

得交點P的縱坐標為，

同理交點Q的縱坐標為，

所以yP＝yQ≠0，直線PQ與x軸平行.

解法二：

設直線AM的方程為x＝ty+2（t≠0），直線AN的方程為x＝sy+2（s≠0），

令x＝0得tyM＝﹣2，M坐標為，同理N坐標為，

因為M，N是y軸上不同的兩點，兩點的縱坐標互為倒數，所以st＝4，，

整理得（t2+4）y2+4ty＝0或（t2+4）x2﹣16x+16﹣4t2＝0，

得交點P的縱坐標為，

同理得，

所以yP＝yQ≠0，直線PQ與x軸平行.

解法三：

設直線AM的方程為y＝k1（x﹣2），k1≠0，直線AN的方程為y＝k2（x﹣2），k2≠0

令x＝0得M坐標為（0，﹣2k1），同理N坐標為（0，﹣2k2），

因為M，N是y軸上不同的兩點，兩點的縱坐標互為倒數，所以4k1k2＝1，

代入橢圓方程得，，

或所以，

得交點P的縱坐標為，

同理得，

所以yP＝yQ≠0，直線PQ與x軸平行.