Question

【題目】已知向量 =（sin（x+ ），1）， =（4，4cosx﹣ ）
（1）若 ⊥ ，求sin（x+ ）的值；
（2）設f（x）= ，若α∈[0， ]，f（α﹣ ）=2 ，求cosα的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ⊥ ，∴ =0，

∴ =4sin（x+ ）+4cosx﹣

=2 sinx+6cosx﹣

=4 sin（x+ ）﹣ =0，

∴sin（x+ ）= ，

∴sin（x+ ）=﹣sin（x+ ）=﹣ ，

（2）解：∵f（x）= =4 sin（x+ ）﹣ ，

∴f（α﹣ ）=4 sin（α+ ）﹣ =2 ，

∴sin（α+ ）= ，又α∈[0， ]，

∴α+ ∈[ ， ]，又 ＜ ＜ ，

∴α+ ∈[ ， ]，∴cos（α+ ）= ，

∴cosα=cos[（α+ ）﹣ ]= cos（α+ ）+ sin（α+ ）

= =

【解析】（1）由垂直可得數量積為0，可得sin（x+ ）= ，由誘導公式可得；（2）由已知化簡可得sin（α+ ）的值，結合角的范圍和同角三角函數的基本關系可得cos（α+ ）的值，而cosα=cos[（α+ ）﹣ ]= cos（α+ ）+ sin（α+ ），代入化簡可得．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系和兩角和與差的正弦公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證;即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直；兩角和與差的正弦公式：．