Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，點G是側面三角形PBC的重心；
（1）求證：AC⊥平面PBD．
（2）求AG與平面PBD所成的角的正弦值．
（3）在側棱PD上是否存在一點N，使得PB∥平面AGN？，若存在試確定點N的位置，若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知中底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，我們易得AC⊥BD，PD⊥AC，結合線面垂直的判定定理，即可得到AC⊥平面PBD．
（2）以D為原點，DA，DC，DP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間坐標系，設PD=DC=1，則我們可以求出直線AG的方向向量與平面PBD的法向量，代入向量夾角公式，即可求出AG與平面PBD所成的角的正弦值．
（3）設PD上存在點N，使DN=λDP，我們易根據PB∥平面AGN，構造λ的方程，解方程求出滿足條件的λ值，即可得到答案．
解答：證明：（1）∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又PD⊥底面ABCD，則PD⊥AC，從而AC⊥平面PBD；

解：（2）以D為原點，DA，DC，DP分別為x軸，y軸，z軸，不妨設PD=1，則DC=1，從而有A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0）P（0，0，1），又G為△PBC的重心，
則．由（1）知是平面PBD的法向量，
則AG與平面PBD所成的角
易知，，
則為所求；
（3）設PD上存在點N，使DN=λDP，則∴，又，若PB∥平面AGN，則向量與共面，依共面向量定理知存在實數m，n，使得，即，則解得，故側棱PD上存在點N，當時滿足條件．
點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關鍵是證得AC⊥BD，PD⊥AC，（2）、（3）的關鍵是建立空間坐標系，將空間直線與平面的夾角問題轉化為向量夾角問題．