Question

【題目】已知函數f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．
（1）當a=3時，求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）若f（x）在區間（0， ）上是減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=3時，f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx

∴

解f′（x）＞0，

即：2x2﹣3x+1＜0

函數f（x）的單調遞增區間是 ．

（2）解：f′（x）=﹣2x+a﹣ ，

∵f（x）在 上為減函數，

∴x∈ 時﹣2x+a﹣ ≤0恒成立．

即a≤2x+ 恒成立．

設 ，則

∵x∈ 時， ＞4，

∴g′（x）＜0，

∴g（x）在 上遞減，

∴g（x）＞g（ ）=3，

∴a≤3

【解析】（1）求單調區間，先求導，令導函數大于等于0即可．（2）已知f（x）在區間（0， ）上是減函數，即f′（x）≤0在區間（0， ）上恒成立，然后用分離參數求最值即可．
【考點精析】通過靈活運用函數的單調性和函數單調性的性質，掌握注意：函數的單調性是函數的局部性質；函數的單調性還有單調不增，和單調不減兩種；函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集即可以解答此題．