Question

【題目】已知圓點，直線與圓交于兩點，點在直線上且滿足.若，則弦中點的橫坐標的取值范圍為_____________.

Answer 1

【答案】

【解析】

①當直線斜率不存在時，易求得；②當直線斜率存在時，設其方程為，利用直線與圓有交點可求得；將直線方程與圓方程聯立得到韋達定理的形式；根據和可整理得到，，，滿足的方程，代入韋達定理的結論整理可得；當時，知；當時，可將表示為關于的函數，利用對號函數的性質可求得值域，即為所求的范圍；綜合兩類情況可得最終結果.

設，

①當直線斜率不存在時，直線方程為，此時，，

，，，，

滿足，此時；

②當直線斜率存在時，設其方程為：，

與圓有兩個不同交點，，即，

由得：，

設，，

則，，

，

.

，，解得：，

由得：，

整理得：，

，整理得：，

當時，；

當時，，代入式得：，

解得：，

，

，，

當時，單調遞增，

在上單調遞減，

，

綜上所述：弦中點的橫坐標的取值范圍為.

故答案為：.