Question

【題目】已知橢圓E：（）的離心率，左、右焦點分別為、，，過點P的直線斜率為k，交橢圓E于A，B兩點，.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設A關于x軸的對稱點為C，證明：三點B、、C共線；

（3）若點B在一象限，A關于x軸的對稱點為C，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）由正弦定理推得，結合離心率，即可容易求得；

（2）設出直線方程，聯立橢圓方程，利用韋達定理，只需證明即可；

（3）設，結合（2）中所求，由角平分線的性質得，將問題轉化為求的范圍的問題進行處理.

（1）由正弦定理得，

由橢圓的定義可得，∴，

又∵離心率，∴，∴，

∴，

∴橢圓E的方程為：；

（2）由題意可知，直線l的方程為：，，

設，，則，

聯立方程，消去y得：，

∴，解得，

且，①，

要證三點B、、C共線，只需證，即證，

即證，

即證，

即證，

把①代入上式得：

，

∴三點B、、C共線；

（3）設直線的傾斜角為，由點B在第一象限，則，

設，

由（2）可知平分，

由角平分線性質得：，

又為過焦點的弦，所以由橢圓的性質得：

，

∵，∴，

∴，

∴，

∴的取值范圍為.