Question

【題目】如圖，直四棱柱 的所有棱長均為2， 為 中點.

（Ⅰ）求證： 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求平面 與平面 所成銳二面角的大小.

Answer 1

【答案】解：(Ⅰ)連結 交 于 ，取 中點 ，連結 .
因為 ，所以 是平行四邊形，故 .
又 是 的中位線，故 ，所以 ，
所以四邊形 為平行四邊形.
所以 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .

(Ⅱ)以 為原點，建立空間直角坐標系 如圖所示，
則 ， ， ， ， ，
設平面 的法向量 ，
則 ，即 ，
解得 ，
令 ，得 ，
顯然平面 的一個法向量 ，
所以 ，
所以平面 與平面 所成銳二面角的大小為45°
【解析】（Ⅰ）根據題目中所給的條件的特點，連結AC交BD于O，取BD1 的中點F，由已知可得ACC1A1是平行四邊形，故A1C1∥AC．再由三角形中位線定理可得四邊形OCEF為平行四邊形．得到A1C1∥EF，由線面平行的判定可得結論；
（Ⅱ）建立適當的空間直角坐標系O-xyz，由已知求得點的坐標，求出平面BED1的法向量與平面ABCD的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面BED1與平面ABCD所成銳二面角的大小．