Question

設S_n是數列{a_n}的前n項和，且點（n，S_n）在函數y=x²+2x上，
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）已知b_n=2n-1，T_n=

1

a1．b1

+

1

a2．b2

+…+

1

an．bn

，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，Sn=n2+2n，由a₁=S₁，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1可求通項
（2）由

1

anbn

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，考慮利用裂項求和即可求解

解答：解：（1）由題意可得，Sn=n2+2n
當n=1時，a₁=S₁=3
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-（n-1）²-2（n-1）=2n+1
而a₁=3適合上式
∴a_n=2n+1
（2）∵b_n=2n-1
∴

1

anbn

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴T_n=

1

a1．b1

+

1

a2．b2

+…+

1

an．bn

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式，a₁=S₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1求解數列的通項公式，及數列的裂項求和方法的應用．