Question

【題目】已知圓,圓與圓關于直線對稱.

(1)求圓的方程;

(2)過直線上的點分別作斜率為的兩條直線,使得被圓截得的弦長與被圓截得的弦長相等.

(i)求的坐標;

(ⅱ)過任作兩條互相垂直的直線分別與兩圓相交,判斷所得弦長是否恒相等,并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）,（ii）見解析

【解析】

(1)根據(jù)題意，將問題轉化為關于直線的對稱點即可得到，半徑不變，從而得到方程；

(2) (i) 設，由于弦長和距離都相等，故P到兩直線的距離也相等，利用點到線距離公式即可得到答案；

(ⅱ)分別討論斜率不存在和為0三種情況分別計算對應弦長，故可判斷.

（1）設，因為圓與圓關于直線對稱，，

則直線與直線垂直，中點在直線上，得

解得所以圓.

（2）（i）設的方程為，即；

的方程為，即.

因為被圓截得的弦長與被圓截得的弦長相等，且兩圓半徑相等，

所以到的距離與到的距離相等，即，

所以或.

由題意，到直線的距離，

所以不滿足題意，舍去，

故，點坐標為.

（ii）過點任作互相垂直的兩條直線分別與兩圓相交，所得弦長恒相等.

證明如下：

當的斜率等于0時，的斜率不存在，被圓截得的弦長與被圓截得的弦長都等于圓的半徑；

當的斜率不存在，的斜率等于0時，與圓不相交，與圓不相交.

當、的斜率存在且都不等于0，兩條直線分別與兩圓相交時，設、的方程分別為，即.

因為到的距離，

到的距離，所以到的距離與到的距離相等.

所以圓與圓的半徑相等，所以被圓截得的弦長與被圓截得的弦長恒相等.

綜上所述，過點任作互相垂直的兩條直線分別與兩圓相交，所得弦長恒相等.