Question

【題目】已知在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E，F分別是線段AB，BC的中點．
（1）證明：PF⊥FD；
（2）若PA=1，求點E到平面PFD的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AF，則AF= ，DF= ，

又AD=2，∴DF2+AF2=AD2，∴DF⊥AF，

又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，

∴DF⊥平面PAF，

又PF平面PAF，

∴DF⊥PF．

（2）解：∵S△EFD=2﹣ = ，

∴VP﹣EFD= = ，

∵VE﹣PFD=VP﹣AFD，

∴ ，解得h= ，即點E到平面PFD的距離為 ．

【解析】（1）連接AF，通過計算利用勾股定理證明DF⊥AF，證明DF⊥PA，推出DF⊥平面PAF，然后證明DF⊥PF．（2）利用等體積方法，求點E到平面PFD的距離．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的性質，掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行即可以解答此題．