Question

已知g（x）是對數函數，且它的圖象恒過點（e，1）．f（x）是二次函數，且不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），且f（0）=3．
（1）求g（x）的解析式
（2）求f（x）的解析式；
（3）求y=f（x）-g（x）的單調遞減區間．

Answer 1

分析：（1）待定系數法：設g（x）=log_ax，由函數圖象過點（e，1），可得方程，解出a即可；
（2）待定系數法：設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=3可得c，由f（x）＞0的解集是（-1，3），可得-1，3是方程f（x）=0的兩根，由此可得方程組，解出a，b即可；
（3）表示出y=f（x）-g（x），求出導數，然后解不等式y′＞0，y′＜0即得單調區間，注意函數定義域；

解答：解：（1）設g（x）=log_ax（a＞0，且a≠1），
由g（x）的圖象過點（e，1），得1=log_ae，解得a=e，
所以g（x）=lnx；
（2）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
由f（0）=3，得c=3，則f（x）=ax²+bx+3，
又f（x）＞0的解集是（-1，3），
所以-1、3是方程f（x）=0，即ax²+bx+3=0的兩根，
所以

-1×3= 3 a -1+3=- b a

，解得

a=-1 b=2

，
所以y=f（x）=-x²+2x+3；
（3）y=f（x）-g（x）=-x²+2x+3-lnx（x＞0），
y′=-2x+2-

1

x

=-

2x2-2x+1

x

，
對于x＞0恒有y′＜0，
所以y=f（x）-g（x）的單調遞減區間為（0，+∞）．

點評：本題考查函數單調性的判斷及證明，考查函數解析式的求解及常用方法，屬中檔題．