Question

如圖，四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD＝∠CDA＝90°，，M是線段AE上的動點．
（1）試確定點M的位置，使AC∥平面DMF，并說明理由；
（2）在（1）的條件下，求平面MDF將幾何體ADE－BCF分成的兩部分的體積之比．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）1:4.

解析試題分析：（1）要使得AC∥平面DMF，需要使得AC平行平面DMF內的一條直線.為了找這條直線，需要作一個過AC而與平面DMF相交的平面.為此，連結CE，交DF于N，連結MN，這樣只要AC∥MN即可.因為N為線段DF的中點，所以只需M是線段AE的中點即可.

（2）一般地，求不規則的幾何體的體積，可將其割為規則的幾何體或補為規則的幾何體.在本題中，可將幾何體ADE－BCF補成三棱柱ADE－B¢CF，如圖.這樣利用柱體和錐體的體積公式即可得其體積之比.

（1）當M是線段AE的中點時，AC∥平面DMF．
證明如下：
連結CE，交DF于N，連結MN，
由于M、N分別是AE、CE的中點，所以MN∥AC，
由于MN平面DMF，又AC平面DMF，
所以AC∥平面DMF． 4分
（2）如圖，將幾何體ADE－BCF補成三棱柱ADE－B¢CF，

三棱柱ADE－B¢CF的體積為，
則幾何體ADE－BCF的體積
＝．
三棱錐F－DEM的體積V_{三棱錐M－DEF}＝，
故兩部分的體積之比為（答14，4，41均可）． 12分
考點：1、空間線面關系；2、幾何體的體積.