Question

在△ABC中，已知A（0，1）、B（0，-1），AC、BC兩邊所在的直線分別與x軸交于E、F兩點，且

OE

•

OF

=4．
（I）求點C的軌跡方程；
（Ⅱ）若

BC

=-8

CF

，
①試確定點F的坐標；
②設P是點C的軌跡上的動點，猜想△PBF的周長最大時點P的位置．

Answer 1

分析：（1）設出點的坐標，根據三點共線得到坐標之間的關系，根據數量積為4，整理點C的坐標滿足的關系，注意所求的曲線上的點是否都滿足條件，把不合題意的去掉．
（2）根據向量之間的關系得到點之間的關系，把所求的點之間的關系代入曲線的方程的，得到點的坐標，猜想周長最大時P的位置，一般情況下是一個特殊點．

解答：解：（I）如圖，設點C（x，y），E（x_E，0），F（x_f，0），
由A，C，E三點共線，
得

AC

•

AE

=x(-1)-(y-1)xE=0，
∴xE=

x

1-y

，
同理，由B、C、F三點共線可xF=

x

1+y

，
∵

OE

•

OF=4

∴x_E•x_F=4，
化簡，得C的軌跡方程為

x2

4

+y2=1(x≠0)．

（Ⅱ）若

BC

=-8

CF

，
①∵

BC

=-8

CF

，
∴（x_c，y_c+1）=-8（x_f-x_c，-y_c）
∴xc=

8

7

xf，yc=

1

7

代入

x2

4

+y2=1，得xf=±

3

∴F(±

3

，0)
即F為橢圓的焦點．
②猜想：F₂（

3

，0)，F1 (-

3

，0)是橢圓左焦點，
則P點位于直線BF₁與橢圓的交點處時，
△BCF周長最大，最大值為8．

點評：通過向量的坐標表示實現向量問題代數化，注意與方程、函數等知識的聯系，一般的向量問題的處理有兩種思路，一種是純向量式的，另一種是坐標式，兩者互相補充．