Question

【題目】曲線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上，圓與軸正半軸、軸正半軸分別交于，兩點(diǎn).

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作直線與圓交于，兩點(diǎn)，是否存在使得與共線，如果存在求直線的方程，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，方程為.

【解析】

（Ⅰ）令，則或，令，則，得到曲線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為，，，再求圓的方程.

（Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件，當(dāng)的斜率不存在時(shí)，不滿足條件，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，聯(lián)立得，設(shè)，，利用韋達(dá)定理求得 的坐標(biāo)，再根據(jù)共線向量定理求解.

（Ⅰ）令，則或，

令，則，

曲線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為，，，

設(shè)圓心為，則，

∴，

，

∴圓的方程為.

（Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件，

當(dāng)的斜率不存在時(shí)，不滿足條件，

當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，

由得，

，

設(shè)，，則，，

，

，

由（1）知，，

∴，

若與共線，則，

整理得，

∴或，

經(jīng)檢驗(yàn)，符合，

∴存在的方程為.