Question

（本小題滿分12分）
設，且,定義在區間內的函數是奇函數.
（1）求的取值范圍；
（2）討論函數的單調性并證明.

Answer 1

（1）. （2）在（-b,b)內是減函數，具有單調性.

試題分析：（1）由函數f（x）在區間（-b，b）是奇函數，知f（-x）=-f（x），x∈（-b，b）上恒成立，用待定系數法求得a；同時函數要有意義，即＞0，x∈（-b，b）上恒成立，可解得結果．
（2）選用定義法求解，先任意取兩個變量且界定大小，再作差變形看符號．
解 （1）是奇函數等價于：
對任意都有…………………2分
（1）式即為，由此可得,也即,…………………4分
此式對任意都成立相當于,因為,所以，
代入②式，得＞0,即,此式對任意都成立相當于,…………………6分
所以的取值范圍是.…………………7分
（2）設任意的，且,由，得,
所以…………………9分
從而 
因此在（-b,b)內是減函數，具有單調性. …………………12分
點評：解決該試題的關鍵是要注意定義域優先考慮原則，以及作差時的變形要到位，要用上兩個變量的大小關系。