Question

已知P為橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個焦點(diǎn)，∠F₁PF₂=60°，則△F₁PF₂的面積S=

3

3

．

Answer 1

分析：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得：c=4，設(shè)|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，根據(jù)橢圓的定義可得：t₁+t₂=10，再根據(jù)余弦定理可得：t₁²+t₂²-t₁t₂=64，再聯(lián)立兩個方程求出t₁t₂=12，進(jìn)而結(jié)合三角形的面積公式求出三角形的面積．

解答：解：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得：a=5，b=3，
∴c=4，
設(shè)|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
所以根據(jù)橢圓的定義可得：t₁+t₂=10①，
在△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°，
所以根據(jù)余弦定理可得：|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos60°=|F₁F₂|²=（2c）²=64，
整理可得：t₁²+t₂²-t₁t₂=64，②
把①兩邊平方得t₁²+t₂²+2t₁•t₂=100，③
所以③-②得t₁t₂=12，
∴S△F1PF2=

1

2

t1t2sin∠F₁PF₂=3

3

．
故答案為：3

3

．

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì)與橢圓的定義，此題考查解三角形的有關(guān)知識點(diǎn)，以及考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力與運(yùn)算技巧，此題屬于中檔題．