Question

已知函數(shù).
（1）若的定義域和值域均是，求實數(shù)的值；
（2）若在區(qū)間上是減函數(shù)，且對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍；
（3）若，且對任意的，都存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

解析試題分析：（1）先利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故在單調(diào)遞減，然后由定義域與值域列出等式關(guān)系，從而求解即可；（2）由（1）可知，初步確定的取值范圍，然后確定時函數(shù)的最大值，從中求解不等式組即可；（3）將“對任意的，都存在，使得成立”轉(zhuǎn)化為時，的值域包含了在的值域，然后進行分別求在的值域，從集合間的包含關(guān)系即可求出的取值范圍.
試題解析：（1）∵
∴在上單調(diào)遞減，又，∴在上單調(diào)遞減，
∴，∴，∴  4分
（2）∵在區(qū)間上是減函數(shù)，∴，∴
∴，
∴時，
又∵對任意的，都有，
∴，即，也就是
綜上可知      8分
（3）∵在上遞增，在上遞減，
當時，，
∵對任意的，都存在，使得成立
∴
∴，所以                13分
考點：1.二次函數(shù)圖像與性質(zhì)；2.函數(shù)的單調(diào)性；3.函數(shù)與方程的問題.