Question

【題目】為了研究55歲左右的中國人睡眠質量與心腦血管病是否有關聯，某機構在適齡人群中隨機抽取了100萬個樣本，調查了他們每周是否至少三個晚上出現了三種失眠癥狀，癥狀：入睡困難；癥狀：醒得太早；癥狀：不能深度入睡或做夢，得到的調查數據如下：

數據1：出現癥狀人數為8.5萬，出現癥狀人數為9.3萬，出現癥狀人數為6.5萬，其中含癥狀同時出現1.8萬人，癥狀同時出現1萬人，癥狀同時出現2萬人，癥狀同時出現0.5萬人；

數據2：同時有失眠癥狀和患心腦血管病的人數為5萬人，沒有失眠癥狀且無心腦血管病的人數為73萬人.

（Ⅰ）依據上述數據試分析55歲左右的中國人患有失眠癥的比例大約多少？

（Ⅱ）根據以上數據完成如下列聯表，并根據所填列聯表判斷能否有95%的把握說明失眠與心腦血管病存在“強關聯”？

	失眠	不失眠	合計
患心腦血管疾病
不患心腦血管疾病
合計

參考數據如下：

	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10
	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706
	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

參考公式：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）比例大約為20%；（Ⅱ）有95%的把握說明失眠與中風或心臟病存在“強關聯”.

【解析】

（Ⅰ）根據題設數據得到韋恩圖各部分數據，再結合容斥原理，即得解；

（Ⅱ）根據數據2填寫表格，利用即得解.

（Ⅰ）設{出現癥狀的人}、{出現癥狀的人}、{出現癥狀的人}（表示有限集合元素個數）

根據數據1可知，，，，所以

得患失眠癥總人數為20萬人，比例大約為20%

（Ⅱ）根據數據2可得：

	失眠人數（萬）	不失眠人數（萬）
患病人數（萬）	5	7	12
不患病人數（萬）	15	73	88
	20	80	100

有95%的把握說明失眠與中風或心臟病存在“強關聯”.