Question

如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，點D、E分別在棱PB、PC上，且DE∥BC.
(1)求證：BC⊥平面PAC；
(2)當D為PB的中點時，求AD與平面PAC所成的角的正弦值；
(3)是否存在點E使得二面角A－DE－P為直二面角？并說明理由．

Answer 1

解：(1)∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，
∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC.
(2)∵D為PB的中點，DE∥BC，∴DE＝BC.
又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足為點E，∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB.又PA＝AB，∴△ABP為等腰直角三角形，
∴AD＝AB.在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∴BC＝AB，∴在Rt△ADE中，sin∠DAE＝＝＝，
即AD與平面PAC所成角的正弦值為.
(3)∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC.又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP為二面角A－DE－P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，
∴∠PAC＝90°，∴在棱PC上存在一點E，使得AE⊥PC.這時，∠AEP＝90°，
故存在點E使得二面角A－DE－P是直二面角．

略