Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，平面 平面 ，四邊形 為平行四邊形， ， ， ， .

（1）求證： 平面 ；
（2）求 到平面 的距離；
（3）求三棱錐 的體積.

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵平面 平面 ，且平面 平面 ，
又 平面 ， ，
∴ 平面 ，
而 平面 ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
又 ，∴ 平面
（2）解：設 的中點為 ，連接 ，
∵ ，∴ ．
∵平面 平面 ，且平面 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ ， 平面 ，
所以點 到平面 的距離就等于點 到平面 的距離，
即點 到平面 的距離為
（3）解：∴ ，
∵ ，
∴ ，即三棱錐 的體積為 ．
【解析】(1)首先根據面面垂直的性質定理即可得證 B C ⊥ 平面 A E C進而得出B C ⊥ A E，再利用勾股定理的逆定理得出A E ⊥ E C 結合線面垂直的判定定理進而得到 A E ⊥ 平面 B C E F。(2)根據題意作出輔助線結合題意利用面面垂直的性質定理可得出E G ⊥ 平面 A B C D，再結合平行性質轉化垂直關系可得點 F 到平面 A B C D 的距離就等于點 E 到平面 A B C D 的距離，由已知的長度關系代入數值求出結果即可。(3)利用(1)(2)的結論把數值代入到三棱錐的體積公式求出結果即可。