Question

（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面為正文形，PA平面ABCD，且PA＝AD，E為棱PC上的一點，PD平面ABE
（I）求證：E為PC的中點
（II）若N為CD中點，M為AB上的動點，當直線MN與平面ABE所成的角最大時，求二面角C－EM—N的大小

Answer 1

解：（Ⅰ）過作交于,由

可知
四點共面，…………………2分
又因為
∴,
∵
∴在中，,………………………4分
∴可得E為PC的中點．……………………6分
（Ⅱ）連結
連結，則為直線MN與平面ABE所成的角．
在中，
∴最小時，最大，此時．
所以M為AB中點，……………………………9分
則．
由，
可知

設
，
.……………12分
法二（Ⅰ）建立如圖所示空間直角坐標系,不妨設,則，.………………2分
設,
，…………………4分
因為  , ，
，
即,.……………………6分
（Ⅱ）設，,
由（Ⅰ）知面的法向量為，
設MN與面ABE所成角為,

當t=時，最大，此時M為AB中點,…………………9分
平面NEM的法向量為 設平面CEM的法向量為
   而
    令.
，
.……………………12分

解析