Question

已知橢圓M的中心為坐標原點，且焦點在x軸上，若M的一個頂點恰好是拋物線y²=8x的焦點，M的離心率，過M的右焦點F作不與坐標軸垂直的直線l，交M于A，B兩點．
（1）求橢圓M的標準方程；
（2）設點N（t，0）是一個動點，且，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意可求a，由=可求c，然后由b²=a²-c²可求b，進而可求橢圓方程
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設l：x=my+1（m≠0），聯立直線與橢圓方程，根據方程的根與系數關系可求y₁+y₂，由可得|NA|=|NB|，利用距離公式，結合方程的根與系數關系可得，結合二次函數的性質可求t的范圍
解答：解：（Ⅰ）∵拋物線y²=8x的焦點F（2，0）
∴a=2
∵=
∴c=1
∴b²=a²-c²=3
∴橢圓M的標準方程：（4分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設l：x=my+1（m∈R，m≠0）
聯立方程可得（3m²+4）y²+6my-9=0
由韋達定理得①（6分）
∵
∴|NA|=|NB|
∴=
∴
將x₁=my₁+1，x₂=my₂+1代入上式整理得：，
由y₁≠y₂知（m²+1）（y₁+y₂）+m（2-2t）=0，將①代入得（10分）
所以實數t（12分）
點評：本題主要考查了橢圓的性質在橢圓的方程求解中的應用，直線與橢圓的相交關系的應用及方程的根與系數關系的應用，屬于直線與曲線關系的綜合應用