Question

已知橢圓M的中心為坐標原點，且焦點在x軸上，若M的一個頂點恰好是拋物線y²=8x的焦點，M的離心率e=

1

2

，過M的右焦點F作不與坐標軸垂直的直線l，交M于A，B兩點．
（1）求橢圓M的標準方程；
（2）設(shè)點N（t，0）是一個動點，且(

NA

+

NB

)⊥

AB

，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可求a，由e=

c

a

=

1

2

可求c，然后由b²=a²-c²可求b，進而可求橢圓方程
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)l：x=my+1（m≠0），聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求y₁+y₂，由(

NA

+

NB

)⊥

AB

可得|NA|=|NB|，利用距離公式，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系可得t=

1

3m2+4

，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求t的范圍

解答：解：（Ⅰ）∵拋物線y²=8x的焦點F（2，0）
∴a=2
∵e=

c

a

=

1

2

∴c=1
∴b²=a²-c²=3
∴橢圓M的標準方程：

x2

4

+

y2

3

=1（4分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)l：x=my+1（m∈R，m≠0）
聯(lián)立方程

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

可得（3m²+4）y²+6my-9=0
由韋達定理得y1+y2=-

6m

3m2+4

①（6分）
∵(

NA

+

NB

)⊥

AB

∴|NA|=|NB|
∴(x1-t)2+y12=(x2-t)2+y22
∴(x1-x2)(x1+x2-2t)+(y12-y22)=0
將x₁=my₁+1，x₂=my₂+1代入上式整理得：(y1-y2)[(m2+1)(y1+y2)+m(2-2t)]=0，
由y₁≠y₂知（m²+1）（y₁+y₂）+m（2-2t）=0，將①代入得t=

1

3m2+4

（10分）
所以實數(shù)t∈(0，

1

4

)（12分）

點評：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)在橢圓的方程求解中的應(yīng)用，直線與橢圓的相交關(guān)系的應(yīng)用及方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于直線與曲線關(guān)系的綜合應(yīng)用