Question

已知函數f（x）=log₂．
（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（2）若關于x的方程f（x）=log₂（x-k）有實根，求實數k的取值范圍；
（3）問：方程f（x）=x+1是否有實根？如果有，設為x，請求出一個長度為的區間（a，b），使x∈（a，b）；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函數的定義域，看是否關于原點對稱，再計算f（-x），利用=（） ^-1可得f（-x）=-f（x），從而得到函數為奇函數；
（2）方程f（x）=log₂（x-k）有實根，也就是方程=x-k即k=x-在（-1，1）內有解，從而得出實數k屬于函數y=x-=x+1-在（-1，1）內的值域．下面利用換元法求出其值域即可得到實數k的取值范圍；
（3）設g（x）=f（x）-x-1=log₂-x-1（-1＜x＜1）．用“二分法”逐步探求，先算區間（-1，1）的中點g（0）=-1＜0，由于g（x）在（-1，1）內單調遞減，于是再算區間（-1，0）的中點g（-）=log₂3-＞0，然后算區間（-，0）的中點 g（-）＜0，最后算區間（-，-）的中點g（-）＞0．
解答：解：（1）由得-1＜x＜1，所以函數f（x）的定義域為（-1，1）；              （2'）
因為f（-x）+f（x）=log₂+log₂=log₂=log₂1=0，
所以f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函數．                                       （4'）
（2）方程f（x）=log₂（x-k）有實根，也就是方程=x-k即k=x-在（-1，1）內有解，
所以實數k屬于函數y=x-=x+1-在（-1，1）內的值域．                  （6'）
令x+1=t，則t∈（0，2），因為y=t-在（0，2）內單調遞增，所以t-∈（-∞，1）．
故實數k的取值范圍是（-∞，1）．                                            （8'）
（3）設g（x）=f（x）-x-1=log₂-x-1（-1＜x＜1）．
因為，且y=log₂x在區間（0，+∞）內單調遞增，所以log₂＜log₂2³，
即4log₂＜3，亦即log₂＜．
于是g（-）=log₂-＜0．                 ①（10'）
又∵g（-）=log₂-＞1-＞0．                                    ②（12'）
由①②可知，g（-）•g（-）＜0，
所以函數g（x）在區間（-，-）內有零點x．
即方程f（x）=x+1在（-，-）內有實根x．                                  （13'）
又該區間長度為，因此，所求的一個區間可以是（-，-）．（答案不唯一）      （14'）
點評：本題主要考查了函數奇偶性的判斷，二分法，以及對數的運算性質，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．屬于對數函數的綜合題．