Question

（本小題滿分14分）

     已知函數.

（Ⅰ）若函數在定義域內為增函數，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）當時，試判斷與的大小關系，并證明你的結論；

(Ⅲ) 當且時，證明：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的取值范圍為.（Ⅱ）當時，.

(Ⅲ)見解析.

【解析】（I）求函數.的導數，注意定義域，令導函數大于或等于0，分離參數，令一端配方求出最值即得的范圍；（II）由（Ⅰ）可知： 時，，（當時，等號成立），令，則取兩邊分別相加整理即得結論；（III）由（2）知，當，令求導可得最小值，所以時，（當且僅當時，等號成立），令，則，所以,,因而可得,所以, 所以,然后不等式累加證明即可.

 

（Ⅰ），函數的定義域為.

.

依題意，在恒成立，在恒成立.

，

，∴的取值范圍為.   ……………………………………………………… （4分）

（Ⅱ）當時，.

證明：當時，欲證 ，只需證.

由（Ⅰ）可知：取，則，

而，（當時，等號成立）.

用代換，得，即，

∴.

在上式中分別取，并將同向不等式相加，得.

∴當時，.        ………………………………………… （9分）

(Ⅲ)由（Ⅱ）可知（時，等號成立）.

而當時：，∴ 當時，.

設，則，

∴在上遞減，在上遞增，

∴，即在時恒成立.

故當時，（當且僅當時，等號成立）.    ……  ①

用代換得： （當且僅當時，等號成立）.     …… ②

當時，由①得，.

當時，由②得 ，用代換，得.

∴當時，，即.

在上式中分別取，并將同向不等式相加，得.

故當且時，.    …………………………………………………（14分）