Question

一個(gè)四棱錐的三視圖和直觀圖如圖所示，E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．
（1）求證：PB∥平面AEC；
（2）若F為側(cè)棱PA上的一點(diǎn)，且

PF

FA

=λ，則λ為何值時(shí)，PA⊥平面BDF？并求此時(shí)幾何體F-BDC的體積．

Answer 1

分析：（1）由三視圖可知該四棱錐底面為有一角為60°，邊長(zhǎng)為2的菱形，高為1的棱錐，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心，連接EO，利用三角形中位線(xiàn)定理和線(xiàn)面平行的判定定理即可證明結(jié)論；
（2）考慮到PA與BD垂直，故只需過(guò)O作PA的垂線(xiàn)，垂足F即為所求點(diǎn)F，如此再利用線(xiàn)面垂直的判定定理證明結(jié)論，求椎體的體積關(guān)鍵是求高，可過(guò)F作FH∥PO，則FH即為所求高，最后利用椎體體積計(jì)算公式即可得結(jié)果

解答：解：（1）由圖形可知該四棱錐的底面ABCD是菱形，
且有一角為60°，邊長(zhǎng)為2，錐體高度為1．
設(shè)AC，BD和交點(diǎn)為O，連OE，OE為△DPB的中位線(xiàn)，OE∥PB，EO?面EAC，PB?面EAC內(nèi)，
∴PB∥面AEC．
（2）過(guò)O作OF⊥PA垂足為F
在Rt△POA中，PO=1，AO=

3

，PA=2，PO²=PF•PA，2PF=1
∴PF=

1

2

，F(xiàn)A=

3

2

，

PF

FA

=

1

3

在底面菱形中BD⊥AC，又因?yàn)镻O⊥面ABCD，
所以BD⊥PO，
∴BD⊥面APO，PA?面APO
∴PA⊥BD，PA⊥OF，OF∩BD=O
所以PA⊥平面BDF
∴當(dāng)λ=

1

3

時(shí)，PA⊥平面BDF
當(dāng)

PF

FA

=

1

3

時(shí)，在△POA中過(guò)F作FH∥PO，則FH⊥面BCD，F(xiàn)H=

3

4

PO=

3

4

∴

S

△BCD

=

1

2

×2×

3

，
∴V=

1

3

S

△BCD

•FH=

1

3

×

3

4

×

3

=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了空間線(xiàn)面平行的判定定理，線(xiàn)面垂直的判定定理，椎體體積的計(jì)算公式，由于點(diǎn)F為動(dòng)點(diǎn)，故本題屬探究型題