Question

一個四棱錐的三視圖和直觀圖如圖所示，E為側棱PD的中點．
（1）指出幾何體的主要特征（高及底的形狀）；
（2）求證：PB∥平面AEC；
（3）若F為側棱PA上的一點，且

PF

FA

=λ，則λ為何值時，PA⊥平面BDF？并求此時直線EC與平面BDF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中的俯視圖我們可以判斷該幾何體的底面形狀及幾何特征，由正視圖和側視圖，可以判斷該幾何體為正棱錐，及棱錐的高，綜合后即可得到幾何體的主要特征；
（2）設AC、BD的交點為O，連接OE，由三角形的中位線定理可得，OE∥PB，再由線面平行的判定定理，即可得到PB∥平面AEC；
（3）由（1）的結論，我們易判斷棱錐的側面，均為等腰三角形，令F為PA的靠近P點的四等分點，由勾股定理，易得PA⊥BF，PA⊥DF，由線面垂直的判定定理可得F滿足條件，由F是中點，易得此時λ的值，并可利用余弦定理求出PA與EC夾角的余弦值，結合PA⊥平面BDF，即可得到直線EC與平面BDF所成角的正弦值．

解答：解：（1）由已知中俯視圖可知該幾何體為底面ABCD為菱形，且有一個角為60°，邊長為2，
由正視圖和側視圖可得：幾何體為高度為PO=1的四棱錐
（2）設AC、BD的交點為O，連接OE
則OE為△DPB的中位線，OE∥PB，
又由OE?平面EAC，PB?平面EAC，
∴PB∥平面AEC；
（3）連接OP，則OP⊥平面ABCD
由OP=1，底面ABCD為菱形，且有一個角為60°，邊長為2，
則OD=1，AC=2

3

則PB=PD=

2

，PA=PC=2
易得側面PAB和PAD均為等腰三角形
令FP=

1

2

，由勾股定理可得則PA⊥BF，PA⊥DF
又由BF∩DF=F
∴PA⊥平面BDF
此時

PF

FA

=λ=

1

3

此時PA與EC夾角的余弦值為-

5 14

28

又∵PA⊥平面BDF
∴直線EC與平面BDF所成角的正弦值為

5 14

28

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，直線與平面的夾角，其中根據已知的三視圖分析出該幾何體的幾何特征，是解答本題的關鍵．