Question

在一個特定時段內，以點E為中心的7海里以內海域被設為警戒水域，點E正北方向55海里處有一個雷達觀測站A，某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東45°且與點A相距40

2

海里的位置B，經過80分鐘又測得該船已行駛到點A正東方向且與點A相距20海里的位置C．
（I）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）；
（II）若該船不改變航行方向繼續行駛，判斷它是否會進入警戒水域，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先以點A為原點，正東方向為X軸正半軸建系如圖，得出點B，C的坐標，再利用兩點距離公式得BC從而求得小船速度即可；
（Ⅱ）欲判斷它是否會進入警戒水域，只須比較圓心E到直線BC的距離圓的半徑的大小即可．

解答：解：（Ⅰ）以點A為原點，正東方向為X軸正半軸建系如圖則：C（20，0），
設B的坐標為（m，n）；
易得m=40

2

×

2

2

=40，n=40

2

×

2

2

=40，
則B的坐標為（40，40），
則BC=

(40-20)2+(40-0)2

=20

5

，
所以，小船速度v=

20 5

4 3

=15

5

（海里/小時）
（Ⅱ）根據題意，B（40，40），C（20，0），
BC直線方程為：2x-y-40=0，
E=（0，-55），E到直線BC的距離為d=

|0-(-55)-40|

5

=3

5

＜7，
故小船會進入警戒水域．

點評：本題是中檔題，考查已知三角函數模型的應用問題，注意選擇正確的坐標系以及合理的定理解答是解好題目的關鍵，考查計算能力．