Question

在一個特定時段內，以點E為中心的7海里以內海域被設為警戒水域．點E正北55海里處有一個雷達觀測站A．某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東45°且與點A相距40

2

海里的位置B，經過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東45°+θ（其中sinθ=

26

26

，0°＜θ＜90°）且與點A相距10

13

海里的位置C．
（I）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）；
（II）若該船不改變航行方向繼續行駛．判斷它是否會進入警戒水域，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據題意畫出簡圖確定AB、AC、∠BAC的值，根據sinθ=

26

26

求出θ的余弦值，再由余弦定理求出BC的值，從而可得到船的行駛速度．
（2）先假設直線AE與BC的延長線相交于點Q，根據余弦定理求出cos∠ABC的值，進而可得到sin∠ABC的值，再由正弦定理可得AQ的長度，從而可確定Q在點A和點E之間，根據QE=AE-AQ求出QE的長度，然后過點E作EP⊥BC于點P，則EP為點E到直線BC的距離，進而在Rt△QPE中求出PE的值在于7進行比較即可得到答案．

解答：解：（I）如圖，AB=40

2

，AC=10

13

，∠BAC=θ，sinθ=

26

26

．
由于0°＜θ＜90°，所以cosθ=

1-( 26 26 )2

=

5 26

26

．
由余弦定理得BC=

AB2+AC2-2AB•AC•cosθ

=10

5

．
所以船的行駛速度為

10 5

2 3

=15

5

（海里/小時）．

（II）如圖所示，設直線AE與BC的延長線相交于點Q．
在△ABC中，由余弦定理得，
cos∠ABC=

AB2+BC2-AC2

2AB•BC

=

402×2+102×5-102×13

2×40 2 ×10 5

=

3 10

10

．
從而sin∠ABC=

1-cos2∠ABC

=

1- 9 10

=

10

10

．
在△ABQ中，由正弦定理得，
AQ=

ABsin∠ABC

sin(45°-∠ABC)

=

40 2 × 10 10

2 2 × 2 10 10

=40．
由于AE=55＞40=AQ，所以點Q位于點A和點E之間，且QE=AE-AQ=15．
過點E作EP⊥BC于點P，則EP為點E到直線BC的距離．
在Rt△QPE中，PE=QE•sin∠PQE=QE•sin∠AQC=QE•sin（45°-∠ABC）
=15×

5

5

=3

5

＜7．
所以船會進入警戒水域．

點評：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用．考查學生的運算能力、綜合考慮問題的能力．