Question

【題目】已知函數f（x）=xlnx．
（1）求f（x）的單調區間和極值；
（2）若對任意 恒成立，求實數m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=xlnx，

∴f'（x）=lnx+1，

∴f'（x）＞0有 ，∴函數f（x）在 上遞增，f'（x）＜0有 ，

∴函數f（x）在 上遞減，

∴f（x）在 處取得極小值，極小值為

（2）解：∵2f（x）≥﹣x2+mx﹣3

即mx≤2xlnx+x2+3，又x＞0，

∴ ，

令 ，

令h'（x）=0，解得x=1或x=﹣3（舍）

當x∈（0，1）時，h'（x）＜0，函數h（x）在（0，1）上遞減

當x∈（1，+∞）時，h'（x）＞0，函數h（x）在（1，+∞）上遞增，

∴h（x）min=h（1）=4．

∴m≤4，

即m的最大值為4．

【解析】（1）求函數的導數，利用函數單調性和極值之間的關系即可求f（x）的單調區間和極值；（2）利用不等式恒成立，進行參數分離，利用導數即可求出實數m的最大值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．