Question

已知函數；

（1）若＞0，試判斷f（x）在定義域內的單調性；

（2）若f（x）在[1，e]上的最小值為，求的值；

（3）若f（x）＜x2在（1，上恒成立，求a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）單調遞增函數；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）首先確定函數的定義域是，再求導數＝，依題設中的條件判斷的符號，從而得到在定義域內的單調性；

（2）由于＝＝，根據參數對導數的取值的影響，恰當地對其分類討論，根據在上的單調性，求出含參數的最小值表達式，列方程求的值， 并注意檢查其合理性；

（3）由于

令，則可將原問題轉化為求函數的最大值問題，可借助導數進行探究.

試題解析：.【解析】
（1）由題意f（x）的定義域為（0，+∞），且f'（x）=…（2分）

∵a＞0，

∴f'（x）＞0，

故f（x）在（0，+∞）上是單調遞增函數 　　　　 …（4分）

（2）由（1）可知，f′（x）=．

（1）若a≥﹣1，則x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此時f（x）在[1，e]上為增函數，

∴[f（x）]m1n=f（1）=﹣a=，

∴a=﹣（舍去）　…（5分）

（2）若a≤﹣e，則x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此時f（x）在[1，e]上為減函數，

∴[f（x）]m1n=f（e）=1﹣（舍去）…（6分）

（3）若﹣e＜a＜﹣1，令f'（x）=0得x=﹣a，當1＜x＜﹣a時，f'（x）＜0，

∴f（x）在（1，﹣a）上為減函數，f（x）在（﹣a，e）上為增函數，

∴[f（x）]m1n=f（﹣a）=ln（﹣a）+1=

∴[f（x）]m1n=f（﹣a）=ln（﹣a）+1=

∴a=﹣．…（8分）

（3）

又 9分

令

時，

在上是減函數 10分

即在上也是減函數，

所以，當時，在上恒成立

所以. 12分

考點：1、導數在研究函數性質中的應用；2、等價轉化的思想與分類討論的思想.